若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.（1）求...

问题详情：

若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.

（1） 求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2） 设数列{cn}满足cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式(－1)nλ<Tn＋

对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.

【回答】

解　(1)  ∵  数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.

∴  n＝1时，a1＋1＝2，解得a1＝1.

又数列{an}是公差为2的等差数列，

∴  an＝1＋2(n－1)＝2n－1.    

∴  2nbn＝nbn＋1，化为2bn＝bn＋1，

∴  数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.

∴  bn＝2n－1.

(2)  由数列{cn}满足cn＝＝＝，数列{cn}的前n项和为

Tn＝1＋＋＋…＋，

∴  Tn＝＋＋…＋＋，

两式作差，得

∴  Tn＝1＋＋＋…＋－＝

∴  Tn＝4－.

不等式(－1)nλ<Tn＋，化为(－1)nλ<4－，

n＝2k(k∈N*)时，λ<4－，取n＝2，∴λ<3.

n＝2k－1(k∈N*)时，－λ<4－，取n＝1，∴λ>－2.

综上可得：实数λ的取值范围是(－2，3).

知识点：数列

题型：解答题