如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿*线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．

①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）∵OA=1，OB=4

∴A（1，0），B（﹣4，0）

设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣1）

∵点C（0，﹣）在抛物线上

∴﹣

解得a=

∴抛物线的解析式为y=

（2）存在t，使得△ADC与△PQA相似．

理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=

则tan∠ACO=

∵tan∠OAD=

∴∠OAD=∠ACO

∵直线l的解析式为y=

∴D（0，﹣）

∵点C（0，﹣）

∴CD=

由AC2=OC2+OA2，得AC=

在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t

由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC与△PQA相似

只需或

则有或

解得t1=，t2=

∵t1＜2.5，t2＜2.5

∴存在t=或t=，使得△ADC与△PQA相似

②存在t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大

理由：作PF⊥AQ于点F，CN⊥AQ于N

在△APF中，PF=AP•sin∠PAF=

在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=

在△ADC中，由S△ADC=

∴CN=

∴S△AQP+S△AQC=

=﹣

∴当t=时，△APQ与△CAQ的面积之和最大   

知识点：各地中考

题型：综合题