已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一动点,当的面积最大时,其内切圆半径为,设过点的直线被椭圆截得的线段,当轴时...
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问题详情:
已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一动点,当的面积最大时,其内切圆半径为,设过点的直线被椭圆截得的线段,
当轴时,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点为椭圆的左顶点,是椭圆上异于左、右顶点的两点,设直线的斜率分别为,若,试问直线是否过定点?若过定点,求该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
【回答】
解:(1)由题意及三角形内切圆的*质可得,得①......2分
将代入,结合②,得,...................4分
所以③,由①②③得....................5分
故椭圆的标准方程为....................6分
(2)设点的坐标分别为,.
①当直线的斜率不存在时,由题意得或,
直线的方程为....................7分
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
联立得,消去得,
由,得
...................(8分)
由可得,
得,
整理得
由(1)和(2)得,解得或...................(10分)
当时,直线的方程为,过定点,不合题意;.........(11分)
当时,直线的方程为,过定点,
综上直线过定点,定点坐标为....................(12分)
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题