设函数，已知曲线在点处的切线与直线平行（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，...
来源：语文精选馆 1.19W
问题详情：
设函数
，
已知曲线
在点
处的切线与直线
平行
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）是否存在自然数
，使得方程
在
内存在唯一的根？
如果存在，求出；如果不存在，请说明理由。
（Ⅲ）设函数
（
表示
中的较小者），
求
的最大值。
【回答】
解：（Ⅰ）由题意知，曲线
在点
处的切线斜率为2，所以
，又
，所以
------2分
（Ⅱ）
时，方程
在
内存在唯一的根，
设
当
时，
，又
，所以存在
，
使
，因为
，所以当
时，
，当
，
，所以当
时，
单调递增，
所以
时，方程
在
内存在唯一的根. ------7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程在内存在唯一的根
，且
时，
，
时，
，所以
当
时，若，若
，由
，
可知
，故
当时，由当
，可得
时，
，
单调递增；
时，
，单调递减；可知
，
且
，综上可得：函数的最大值为
.------12分
知识点：导数及其应用
题型：解答题
