已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a． （Ⅰ）求该二次函数的对称轴；（Ⅱ）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x...

问题详情：

已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a． 

（Ⅰ）求该二次函数的对称轴；

（Ⅱ）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；

（Ⅲ）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的最大值．

【回答】

【解答】解：（Ⅰ）对称轴x=﹣=2．

（Ⅱ）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x=2，

∴当x=2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2，即P（2，2），

∴4a﹣8a+3a=2，

∴a=﹣2，

∴y=﹣2x2+8x﹣6，

∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，

∴当x=1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．

∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，

∴当x=4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．

∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6，即Q（4，﹣6）．

∴△OPQ的面积为4×（2+6）﹣2×2÷2﹣4×6÷2﹣（4﹣2）×（2+6）÷2=10；

（Ⅲ）∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，

∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，

∴t+1≤5，

∴t≤4，

∴t的最大值为4．

知识点：二次函数的图象和*质

题型：解答题