已知二次函数f（x）=x2﹣2x+3（Ⅰ）若函数的最小值为3，求实数m的值；（Ⅱ）若对任意互不相同的x1，x2...

问题详情：

已知二次函数f（x）=x2﹣2x+3

（Ⅰ）若函数的最小值为3，求实数m的值；

（Ⅱ）若对任意互不相同的x1，x2∈（2，4），都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|成立，求实数k的取值范围．

【回答】

【解答】解（Ⅰ）令t=log3x+m，∵，∴t∈[m﹣1，m+1]，

从而y=f（t）=t2﹣2t+3=（t﹣1）2+2，t∈[m﹣1，m+1]

当m+1≤1，即m≤0时，，

解得m=﹣1或m=1（舍去），

当m﹣1＜1＜m+1，即0＜m＜2时，ymin=f（1）=2，不合题意，

当m﹣1≥1，即m≥2时，，

解得m=3或m=1（舍去），

综上得，m=﹣1或m=3，

（Ⅱ）不妨设x1＜x2，易知f（x）在（2，4）上是增函数，故f（x1）＜f（x2），

故|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|可化为f（x2）﹣f（x1）＜kx2﹣kx1，

即f（x2）﹣kx2＜f（x1）﹣kx1（*），

令g（x）=f（x）﹣kx，x∈（2，4），即g（x）=x2﹣（2+k）x+3，x∈（2，4），

则（*）式可化为g（x2）＜g（x1），即g（x）在（2，4）上是减函数，

故，得k≥6，

故k的取值范围为[6，+∞）

知识点：基本初等函数I

题型：解答题