已知函数f（x）=lnx+mx，其中m为常数．（Ⅰ）当m=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在...

问题详情：

已知函数f（x）=lnx+mx，其中m为常数．

（Ⅰ）当m=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣3，求m的值；

（Ⅲ）令g（x）=﹣f′（x），若x≥1时，有不等式g（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．

【回答】

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调*．

专题： 导数的综合应用．

分析： （Ⅰ）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值．

（Ⅱ）在定义域（0，+∞）内对函数f（x）求导，对m进行分类讨论并判断其单调*，根据f（x）在区间（0，e]上的单调*求其最大值，并判断其最大值是否为﹣3，若是就可求出相应的最大值．

（Ⅲ）首先求g（x），有不等式g（x）≥恒成立，转化为k≤g（x）（x+1），求g（x）（x+1）的最小值，问题得以解决．

解答： 解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），

当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，f′（x）=﹣1+，令f′（x）=0，得x=1．

当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．

∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．

（2）∵f′（x）=m+，x∈（0，e]，

①若m≥0，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上增函数，

∴f（x）max=f（e）=me+1≥0，不合题意．

②若m＜0，则由f′（x）＞0，即0＜x＜

由f′（x）＜0，即＜x≤e．

从而f（x）在（0，）上增函数，在（﹣，e]为减函数，

∴f（x）max=f（）=﹣1+ln（）

令﹣1+ln（）=﹣3，

∴m=e﹣2，

∵﹣e2＜，

∴m=﹣e2为所求．

（Ⅲ）∵g（x）=﹣f′（x），f′（x）=m+，f（x）=lnx+mx，

∴g（x）=﹣，

若x≥1时，有不等式g（x）≥恒成立，

∴k≤g（x）（x+1）=lnx+++1，

令h（x）=（x）（x+1）=lnx+++1，

∴h′（x）=＞恒大于0，

∴h（x）在[1，+∞）为增函数，

∴h（x）min=h（1）=2，

∴k≤2．

知识点：导数及其应用

题型：解答题