设函数f(x)＝xex+a(1-ex)+1．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在(0，+∞)...

问题详情：

设函数f(x)＝xex+a(1-ex)+1．

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)在(0，+∞)上存在零点，*：a＞2．

（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

【回答】

（1）解：函数f(x)的定义域为(-∞，+∞)，

因为f(x)＝xex+a(1-ex)+1，所以f′(x)＝(x+1-a)ex．

所以当x＞a-1时，f′(x)＞0，f(x)在(a-1，+∞)上是增函数；

当x＜a-1时，f′(x)＜0，f(x)在(-∞，a-1)上是减函数．

所以f(x)在(a-1，+∞)上是增函数，在(-∞，a-1)上是减函数．

（2）*：由题意可得，当x＞0时，f(x)＝0有解，

即有解．

令，则．

设函数h(x)＝ex-x-2，h′(x)＝ex-1＞0，所以h(x)在(0，+∞)上单调递增．

又h(1)＝e-3＜0，h(2)＝e2-4＞0，所以h(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点．

故g′(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点．设此零点为k，则k∈(1，2)．

当x∈(0，k)时，g′(x)＜0；当x∈(k，+∞)时，g′(x)＞0．

所以g(x)在(0，+∞)的最小值为g(k)．

又由g′(k)＝0，可得ek＝k+2，所以，

因为a＝g(x)在(0，+∞)上有解，所以a≥g(k)＞2，即a＞2．

知识点：导数及其应用

题型：解答题