设函数f（x）=﹣x3+2ax2﹣3a2x+b（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当x=...
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设函数f（x）=﹣
x3+2ax2﹣3a2x+b（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当x=
时，f（x）有极小值
，求a，b的值．
【回答】
【考点】6B：利用导数研究函数的单调*；6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）对f（x）求导，利用导数来判断f（x）的增减*，并求出极值；
（2）由（1）的结论，求出a、b的值．
【解答】解：（1）∵f（x）=﹣
x3+2ax2﹣3a2x+b（0＜a＜1），
∴f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2，令f′（x）=0，解得x=a或x=3a，列表如下：
x | （﹣∞，a） | a | （a，3a） | 3a | （3a，+∞） |
f′（x） | ﹣ | 0 | + | 0 | ﹣ |
f（x） | 递减 | ﹣ | 递增 | b | 递减 |
由表可知：当x∈（﹣∞，a）时，函数f（x）为减函数，
当x∈（3a，+∞）时，函数f（x）也为减函数，
当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数；
∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，a），（3a，+∞），单调增区间为（a，3a）；
当x=a时，f（x）的极小值为﹣
a3+b，
当x=3a时，f（x）的极大值为b；
（2）当x=
时，f（x）有极小值
，
根据（1）得，a=
，且﹣
a3+b=
，
即﹣
×
+b=，解得b=
；
综上，a=
，b=
．
知识点：导数及其应用
题型：解答题
