已知函数f（x）=x﹣lnx+a﹣1，g（x）= +ax﹣xlnx，其中a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（...

问题详情：

已知函数f（x）=x﹣lnx+a﹣1，g（x）=  +ax﹣xlnx，其中a＞0． （1）求f（x）的单调区间； （2）当x≥1时，g（x）的最小值大于  ﹣lna，求a的取值范围．

【回答】

（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．，

当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．

∴函数f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）

（2）解：易知g'（x）=x﹣lnx+a﹣1=f（x）．

由（1）知，f（x）≥f（1）=a＞0，

所以当x≥1时，g'（x）≥g'（1）=a＞0．

从而g（x）在[1，+∞）上单调递增，

所以g（x）的最小值  ．

依题意得  ，即a+lna﹣1＞0．

令h（a）=lna+a﹣1，易知h（a）在（0，+∞）上单调递增．

所以h（a）＞h（1）=0，所以a的取值范围是（1，+∞）

知识点：导数及其应用

题型：解答题