已知函数f（x）=aln（1+ex）﹣（a+1）x，（其中a＞0），点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x...

问题详情：

已知函数f（x）=aln（1+ex）﹣（a+1）x，（其中a＞0），点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x2=x1+x3．

（Ⅰ）*：函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；

（Ⅱ）求*：△ABC是钝角三角形；

（Ⅲ）试问△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由．

【回答】

考点：

利用导数研究函数的单调*；数量积表示两个向量的夹角；两点间距离公式的应用．

专题：

计算题；综合题；转化思想．

分析：

（Ⅰ）∵f（x）=aln（1+ex）﹣（a+1）x，欲*函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调减函数，只须*其导数f′（x）＜0即可；

（Ⅱ）先设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））且x1＜x2＜x3，欲*：△ABC是钝角三角形，只须*其中一个内角为钝角即可，结合向量的坐标运算，只须*：即得；

（Ⅲ）假设△ABC为等腰三角形，则只能是，再利用平面内两点的距离公式将点的坐标代入计算，如出现矛盾，则△ABC不可能为等腰三角形，如不矛盾，则△ABC能是等腰三角形．

解答：

解：（Ⅰ）∵f（x）=aln（1+ex）﹣（a+1）x，∴恒成立，

所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调减函数．（3分）

（Ⅱ）*：据题意A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））且x1＜x2＜x3，

由（Ⅰ）知f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=（4分）

可得A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））三点不共线

（反*法：否则，得x1=x3）

∴

∴（6分）

∵x1﹣x2＜0，x3﹣x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＞0，f（x3）﹣f（x2）＜0，∴，∴

即△ABC是钝角三角形（8分）

（Ⅲ）假设△ABC为等腰三角形，则只能是

即：（x1﹣x2）2+[f（x1）﹣f（x2）]2=（x3﹣x2）2+[f（x3）﹣f（x2）]2∵x2﹣x1=x3﹣x2∴[f（x1）﹣f（x2）]2=[f（x3）﹣f（x2）]2

即2f（x2）=f（x1）+f（x3）①（11分）

而事实上，②

由于，故（2）式等号不成立．这与（1）式矛盾．

所以△ABC不可能为等腰三角形．（13分）

点评：

本小题主要考查利用导数研究函数的单调*、数量积表示两个向量的夹角、两点间距离公式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．

知识点：导数及其应用

题型：解答题