已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））...
来源：语文精选馆 9K
问题详情：
已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x+
x2（k≥0）．
（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
【回答】
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调*．
【分析】（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；
（II）先求出导函数f'（x），讨论k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．
【解答】解：（I）当K=2时，
由于
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
．即3x﹣2y+2ln2﹣3=0
（II）f'（x）=
﹣1+kx（x＞﹣1）
当k=0时，
因此在区间（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；
所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）；
当0＜k＜1时，
，得
；
因此，在区间（﹣1，0）和
上，f'（x）＞0；在区间
上，f'（x）＜0；
即函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和
，单调递减区间为（0，
）；
当k=1时，
．f（x）的递增区间为（﹣1，+∞）
当k＞1时，由
，得
；
因此，在区间
和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间
上，f'（x）＜0；
即函数f（x）的单调递增区间为
和（0，+∞），单调递减区间为
．
知识点：导数及其应用
题型：解答题
