已知函数f(x)=1﹣在R上是奇函数.(1)求a;(2)对x∈(0,1],不等式s•f(x)≥2x﹣1恒成立,...
来源:语文精选馆 2.01W
问题详情:
已知函数f(x)=1﹣在R上是奇函数.
(1)求a;
(2)对x∈(0,1],不等式s•f(x)≥2x﹣1恒成立,求实数s的取值范围;
(3)令g(x)=,若关于x的方程g(2x)﹣mg(x+1)=0有唯一实数解,求实数m的取值范围.
【回答】
解:(1)由题意知f(0)=0.即,
所以a=2.此时f(x)=,
而f(﹣x)=,
所以f(x)为奇函数,故a=2为所求.
(2)由(1)知,
因为x∈(0,1],所以2x﹣1>0,2x+1>0,
故s•f(x)≥2x﹣1恒成立等价于s≥2x+1恒成立,
因为2x+1∈(2,3],所以只需s≥3即可使原不等式恒成立.
故s的取值范围是[3,+∞).
(3)因为.
所以g(2x)﹣mg(x+1)=.
整理得22x﹣2m•2x﹣m+1=0.
令t=2x>0,则问题化为t2﹣2mt﹣m+1=0有一个正根或两个相等正根.
令h(t)=t2﹣2mt﹣m+1(t>0),则函数h(t)=t2﹣2mt﹣m+1在(0,+∞)上有唯一零点.
所以h(0)≤0或,
由h(0)≤0得m≥1,
易知m=1时,h(t)=t2﹣2t符合题意;
由解得,
所以m=.
综上m的取值范围是.
知识点:*与函数的概念
题型:解答题