已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取...

问题详情：

已知函数f（x）=xlnx．

（Ⅰ）求f（x）的最小值；

（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．

（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

【回答】

【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调*．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；

（Ⅱ）a≤lnx+（x≥1）恒成立，令g（x）=lnx+，则a≤g（x）min（x≥1）恒成立；根据函数的单调*求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可；

（Ⅲ）问题转化为y=b和y=f（x）在（0，+∞）有两个不同的交点，根据函数的单调*求出b的范围即可．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）=1+lnx，

令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，

故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，

故f（x）min=f（）=ln=﹣；

（Ⅱ）∵f（x）=xlnx，

当x≥1时，f（x）≥ax﹣1恒成立

⇔xlnx≥ax﹣1（x≥1）恒成立

⇔a≤lnx+（x≥1）恒成立，

令g（x）=lnx+，则a≤g（x）min（x≥1）恒成立；

∵g′（x）=﹣=，

∴当x≥1时，f′（x）≥0，

∴g（x）在．

（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=b恰有两个不相等的实数根，

即y=b和y=f（x）在（0，+∞）有两个不同的交点，

由（Ⅰ）0＜x＜时，f（x）＜0，

f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，

f（x）min=f（）=ln=﹣；

故﹣＜b＜0时，满足y=b和y=f（x）在（0，+∞）有两个不同的交点，

即若关于x的方程f（x）=b恰有两个不相等的实数根，则﹣＜b＜0．

知识点：导数及其应用

题型：解答题