已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=﹣lnx(i)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(ii)用...
问题详情:
已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=﹣lnx
(i)当 a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;
(ii)用min {m,n }表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min { f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.
【回答】
【分析】(i)f′(x)=3x2+a.设曲线y=f(x)与x轴相切于点P(x0,0),则f(x0)=0,f′(x0)=0解出即可.
(ii)对x分类讨论:当x∈(1,+∞)时,g(x)=﹣lnx<0,可得函数h(x)=min { f(x),g(x)}≤g(x)<0,即可得出零点的个数.
当x=1时,对a分类讨论:a≥﹣,a<﹣,即可得出零点的个数;
当x∈(0,1)时,g(x)=﹣lnx>0,因此只考虑f(x)在(0,1)内的零点个数即可.对a分类讨论:①当a≤﹣3或a≥0时,②当﹣3<a<0时,利用导数研究其单调*极值即可得出.
【解答】解:(i)f′(x)=3x2+a.
设曲线y=f(x)与x轴相切于点P(x0,0),则f(x0)=0,f′(x0)=0,
∴,解得,a=.
因此当a=﹣时,x轴为曲线y=f(x)的切线;
(ii)当x∈(1,+∞)时,g(x)=﹣lnx<0,
∴函数h(x)=min { f(x),g(x)}<0,
故h(x)在x∈(1,+∞)时无零点.
当x=1时,若a≥﹣,则f(1)=a+≥0,
∴h(x)=min { f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是函数h(x)的一个零点;
若a<﹣,则f(1)=a+<0,∴h(x)=min { f(1),g(1)}=f(1)<0,故x=1不是函数h(x)的零点;
当x∈(0,1)时,g(x)=﹣lnx>0,因此只考虑f(x)在(0,1)内的零点个数即可.
①当a≤﹣3或a≥0时,f′(x)=3x2+a在(0,1)内无零点,因此f(x)在区间(0,1)内单调,
而f(0)=,f(1)=a+,∴当a≤﹣3时,函数f(x)在区间(0,1)内有一个零点,
当a≥0时,函数f(x)在区间(0,1)内没有零点.
②当﹣3<a<0时,函数f(x)在内单调递减,在内单调递增,故当x=时,f(x)取得最小值=.
若>0,即,则f(x)在(0,1)内无零点.
若=0,即a=﹣,则f(x)在(0,1)内有唯一零点.
若<0,即,由f(0)=,f(1)=a+,
∴当时,f(x)在(0,1)内有两个零点.当﹣3<a时,f(x)在(0,1)内有一个零点.
综上可得:a<时,函数h(x)有一个零点.
当时,h(x)有一个零点;
当a=或时,h(x)有两个零点;
当时,函数h(x)有三个零点.
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调*极值,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题.
知识点:函数的应用
题型:解答题