已知函数f（x）=x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直...

问题详情：

已知函数 f（x）=x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）

（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，求a的值：

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，求实数k的取值范围．

【回答】

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调*．

【专题】导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）由导数值即曲线的斜率即可求得；

（Ⅱ）利用导数求函数的单调区间，注意对a进行讨论；

（Ⅲ）把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题解决，对∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，即求f（x）min≥k2+6k恒成立．

【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分

∵函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，

∴f′（1）=1﹣（3a+1）+2a（a+1）=3，即2a2﹣a﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分

解得a=或a=﹣1（不符合题意，舍去），∴a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分

（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分

①当0＜a＜1时，2a＜a+1，∴当0＜x＜2a或x＞a+1时，f′（x）＞0，

当2a＜x＜a+1时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上单调递增，在（2a，a+1）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分

②当a=1时，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分

③当a＞1时，2a＞a+1，

∴0＜x＜a+1或x＞2a时，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分

（Ⅲ）当a=时，f（x）=﹣+lnx，

由（Ⅱ）知函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，3）上单调递减，

因此f（x）在区间1，e]的最小值只能在f（1）或f（e）中取得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分

∵f（1）=﹣5，f（e）=﹣+，

∴f（e）﹣f（1）=．

设g（x）=x2﹣11x+25，则g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且e＜3＜，

∴g（e）＞g（3），故f（e）﹣f（1）＞0．

∴f（x）在区间1，e]的最小值是f（1）=﹣5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分

若要满足对对∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，只需f（x）min≥k2+6k恒成立，

即求﹣5≥k2+6k恒成立，即k2+6k+5≤0，解得﹣5≤k≤﹣1．

∴实数k的取值范围是[﹣5，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分

【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减*得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．体会数学转化思想的运用．

知识点：导数及其应用

题型：解答题