已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（1）讨论f（x）的单调*；（2）当a＜0时，*f（x）≤...

问题详情：

已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x． （1）讨论f（x）的单调*； （2）当a＜0时，*f（x）≤ -  - 2．

【回答】

解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x， 求导f′（x）=+2ax+（2a+1）==，（x＞0）， ①当a=0时，f′（x）=+1＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增； ②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增； ③当a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=-， 因为当x∈（0，-）时f′（x）＞0；当x∈（-，+∞）时，f′（x）＜0， 所以y=f（x）在（0，-）上单调递增、在（-，+∞）上单调递减； 综上可知：当a≥0时f（x）在（0，+∞）上单调递增， 当a＜0时，f（x）在（0，-）上单调递增、在（-，+∞）上单调递减. （2）*：由（1）可知：当a＜0时f（x）在（0，-）上单调递增、在（-，+∞）上单调递减， 所以当x=-时函数y=f（x）取最大值f（x）max=f（-）=-1-ln2-+ln（-）, 从而要*f（x）≤--2，即*f（-）≤--2， 即*-1-ln2-+ln（-）≤--2，即*-（-）+ln（-）≤-1+ln2; 令t=-，则t＞0，问题转化为*：-t+lnt≤-1+ln2,（*） 令g（t）=-t+lnt，则g′（t）=-+， 令g′（t）=0可知t=2，则当0＜t＜2时g′（t）＞0，当t＞2时g′（t）＜0， 所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减， 即g（t）≤g（2）=-×2+ln2=-1+ln2，即（*）式成立， 所以当a＜0时，f（x）≤--2成立．

知识点：导数及其应用

题型：解答题