已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调*；（2）*：；（3）设n∈...

问题详情：

已知函数f(x)=sin2xsin2x.

（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调*；

（2）*：；

（3）设n∈N*，*：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.

【回答】

（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.（2）*见解析；（3）*见解析.

【分析】

(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调*即可；

(2)首先确定函数的周期*，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可*得题中的不等式；

(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得，然后结合(2)的结论和三角函数的有界*进行放缩即可*得题中的不等式.

【详解】

(1)由函数的解析式可得：，则：

，

在上的根为：，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

当时，单调递增.

(2)注意到，

故函数是周期为的函数，

结合(1)的结论，计算可得：，

，，

据此可得：，，

即.

(3)结合(2)的结论有：

.

【点睛】

导数是研究函数的单调*、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调*；已知单调*，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

知识点：导数及其应用

题型：解答题