已知函数f（x）=x2-2x+mlnx+2，m∈R．（Ⅰ）当m＜1时，讨论函数f（x）的单调*；（Ⅱ）若函数f...

问题详情：

已知函数f（x）=x2-2x+mlnx+2，m∈R． （Ⅰ）当m＜1时，讨论函数f（x）的单调*； （Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求*1-≤＜1．

【回答】

解：（1）∵， ∴， 令g（x）=x2-2x+m，∵m＜1，∴△=4-4m＞0， 令f’（x）=0则， 当，即m≤0时， 令f’（x）＜0则；令f’（x）＞0则． 此时函数在上单调递减；在上单调递增． 当，即0＜m＜1时， 令f’（x）＜0，则； 令f’（x）＞0则， 此时函数在上单调递减；在和上单调递增． （2）由（1）知，若f（x）有两个极值点， 则0＜m＜1且， 又x1，x2是x2-2x+m=0的两个根，则， ∴， 令，则， 令h’（t）＜0，则，令h’（t）＞0，则， 所以h（t）在上单调递减；在上单调递增． ∴， ∵，∴h（t）＜1，得*． 【解析】

（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调*即可； （2）首先确定x1，x2的范围，然后结合题意*题中的不等式即可． 本题主要考查导函数研究函数的单调*，导函数研究函数的极值，利用导数*不等式的方法等知识，属于中等题．

知识点：导数及其应用

题型：解答题