已知函数.（1）试判断函数F（x）=(x2+1)f(x)–g(x)在[1，+∞)上的单调*；（2）当0＜a＜b...

问题详情：

已知函数.

（1）试判断函数F（x）=(x2+1) f (x) – g(x)在[1，+∞)上的单调*；

（2）当0＜a＜b时，求*：函数f (x) 定义在区间[a,b]上的值域的长度大于（闭区间[m，n]的长度定义为n –m）．

（3）方程f(x)=是否存在实数根？说明理由。

【回答】

解（1）∵F（x）=(x2+1)lnx –2x+2．   ∴F ′（x）= 2xlnx+．

   ∴当x≥1时，F′（x）≥0且仅当x = 1时F′（x）= 0 ∴F（x）在（1，+∞）上单调递增   ……4分

  （2）∵0＜a＜b,f (x)在[a,b]上的值域为[lna,lnb]

    ∴要*值域的长度大于， 即*lnb – lna＞   只要*ln

∵0＜a＜b,∴令  则只要*lnx＞  （x>1）  即*（x2+1）lnx –(2x –2)>0  (※)

由（1）可知F(x)在（1，+∞）上单调递增 ∴F（x）＞F（1）= 0 所以（※）式成立．

∴f (x)在[a, b]上的值域的长度大于．……9分

（3）∵f (x) =         xlnx= 令h (x) = xlnx(x>0)．则h ′（x）=lnx+1

当x∈（0，）时h ′（x）< 0,     h (x)单调递减；

当x∈（）时，h′（x）>0，h (x)单调递增．所以h (x)min= h ()= –．

令(x)=则 当x∈（0，1），，单调递增；  当x∈（1，+∞）时，，单调递减．∴max=    所以方程f(x)= 没有实根…

知识点：导数及其应用

题型：解答题