已知定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当0＜x≤1时，f（x）=logx，则方程f（x）...

问题详情：

已知定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当0＜x≤1时，f（x）=logx，则方程f（x）﹣1=0在（0，6）内的零点之和为（　　）

A．8       B．10     C．12     D．16

【回答】

C【考点】函数零点的判定定理．

【分析】可根据定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称⇒f（x+4）=f（x），再利用0＜x≤1时，f（x）=≥0，数形结合，可求得方程f（x）﹣1=0在区间（0，6）内的所有零点之和．

【解答】解：∵函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，

∴f（2﹣x）=f（x），又y=f（x）为奇函数，

∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为4，

∵0＜x≤1时，f（x）=≥0，

∴f（x）=1在（0，1）内有一实根x1，又函数f（x）的图象关于直线x=1对称，

∴f（x）=1在（1，2）有一个实根x2，且x1+x2=2；

∵f（x）是奇函数，f（x）的周期为4，

∴f（x）=1在（2，3），（3，4）上没有根；在（4，5），（5，6）各有一个实根x3，x4，x3+x4═10；

∴原方程在区间（0，6）内的所有实根之和为12．

故选：C．

知识点：函数的应用

题型：选择题