已知函数是定义在上的奇函数,且(1)确定函数f(x)的解析式;(2)当时判断函数f(x)的单调*,并*;(3...
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已知函数是定义在上的奇函数,且
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)当时判断函数f(x)的单调*,并*;
(3)解不等式f(3x﹣2)+f(x)<0.
【回答】
解:(1)根据题意,f(x)=是奇函数,则有f(﹣x)=﹣f(x),
则有=﹣,解可得b=0;
∴f(x)=.
∵f(﹣)=﹣,解可得a=1.
∴f(x)=;
(2)f(x)在(﹣1,1)上为增函数;
*如下:设﹣1<x1<x2<1,
则f(x1)﹣f(x2)=﹣=,
∵﹣1<x1<x2<1,
则有(1+x12)>0,(1+x22)>0,(1﹣x1x2)>0,x1﹣x2<0,
则有f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)在(﹣1,1)上为增函数;
(3)∵f(2x﹣1)+f(x)<0,∴f(2x﹣1)<﹣f(x),
又f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,
∴f(3x﹣2)<f(﹣x),
则有,
解可得:;
故不等式f(2x﹣1)+f(x)<0的解集为.
知识点:*与函数的概念
题型:解答题