已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求该二次函数图象的顶点坐标；②定...
问题详情：
已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）
（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求*：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．
（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝
，求二次函数的表达式．
【回答】
【解答】解：（1）①∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
∴y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2
∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）
②*：当y＝x时，x2﹣2x﹣1＝x
整理得：x2﹣3x﹣1＝0
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0
∴方程x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根
即二次函数y＝x2﹣2x﹣1有两个不同的“不动点”．
（2）把b＝c3代入二次函数得：y＝ax2+c3x+c
∵二次函数与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0，x2＞0）
即xx2为方程ax2+c3x+c＝0的两个不相等实数根
∴x1+x2＝﹣
，x1x2＝
∵当x＝0时，y＝ax2+c3x+c＝c
∴C（0，c）
∵E（1，0）
∴CE＝
，AE＝1﹣x1，BE＝x2﹣1
∵DF⊥y轴，OC＝OD
∴DF∥x轴
∴
∴EF＝CE＝
，CF＝2
∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠CEB
∴△AEF∽△CEB
∴，即AE•BE＝CE•EF
∴（1﹣x1）（x2﹣1）＝1+c2
展开得：1+c2＝x2﹣1﹣x1x2+x1
1+c2＝﹣
﹣1﹣
c3+2ac2+2c+4a＝0
c2（c+2a）+2（c+2a）＝0
（c2+2）（c+2a）＝0
∵c2+2＞0
∴c+2a＝0，即c＝﹣2a
∴x1+x2＝﹣
＝4a2，x1x2＝＝﹣2，CF＝2
＝2
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16a4+8
∴AB＝x2﹣x1＝
∵∠AFC＝∠ABC，∠P＝∠P
∴△PFC∽△PBA
∴
∴
解得：a1＝1，a2＝﹣1（舍去）
∴c＝﹣2a＝﹣2，b＝c3＝﹣4
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣2
知识点：各地中考
题型：解答题
