已知二次函数y＝x2－(2k＋1)x＋k2＋k(k＞0)．(1)当k＝时，求二次函数的顶点坐标；(2)求*：...

问题详情：

 已知二次函数y＝x2－(2k＋1)x＋k2＋k(k＞0)．

(1)当k＝时，求二次函数的顶点坐标；

(2)求*：关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0(k＞0)有两个不相等的实根；

(3)如图，该二次函数图象与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且OP＝1，直线AP交BC于点Q.

求*：＋＝.

【回答】

 (1)解：当k＝时，y＝x2－2x＋＝(x－1)2－，

∴顶点坐标为(1，－)；

(2)*：∵b2－4ac＝(2k＋1)2－4(k2＋k)＝4k2＋4k＋1－4k2－4k＝1＞0，

∴原方程一定有两个不相等的实根；

(3)*：由题意得，A(k，0)，B(k＋1，0)，C(0，k2＋k)，

∴OA＝k，AB＝1，设PA的解析式为y1＝mx＋n，代入P(0，－1)，A(k，0)，

解得，m＝，n＝－1，于是y1＝x－1，

设BC的解析式为：y2＝sx＋t，代入B(k＋1，0)，C(0，k2＋k)，

解得，s＝－k，t＝k2＋k，于是y2＝－kx＋k2＋k，

联立解得

∴点Q的坐标为(k＋，)．

∴AQ2＝(k＋－k)2＋()2＝.

∴＝＝1＋.

∵＋＝＋1＝.

∴＋＝.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题