在平面直角坐标系中，点为坐标原点，动点与定点F(－1，0)的距离和它到定直线的距离之比是.（1）求动点P的轨迹...

问题详情：

在平面直角坐标系中，点为坐标原点，动点与定点F(－1，0)的距离和它到定直线的距离之比是.

（1）求动点P的轨迹的方程；

（2）过作曲线的不垂直于轴的弦,为的中点,直线与曲线交于两点,求四边形面积的最小值.

【回答】

解：（1）由已知，得．

两边平方，化简得＋y2＝1．故轨迹的方程是．…（3分）

（2）因AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x＝my－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.

y1＋y2＝，y1y2＝. x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，

故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0，

整理得：x2=，|PQ|

方法一：设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.…....10分

故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝=2≥2

即时，

方法二：P（，），Q（，），

P到直线AB的距离d1=，Q到直线AB的距离d2=，

∵P，Q在直线AB的两侧，且关于原点对称，

∴SAPBQ=丨AB丨（d1+d2）=••（ + ）=，

∴SAPBQ ==2≥2，即时，

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题