已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，若过的动直线与曲线相交于两点（1）说明曲线的形状，并写...
来源：语文精选馆 1.66W
问题详情：
已知曲线
上动点
与定点
的距离和它到定直线
的距离的比是常数
，若过
的动直线与曲线
相交于
两点
（1）说明曲线
的形状，并写出其标准方程；
（2）是否存在与点
不同的定点
，使得
恒成立？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由
【回答】
【详解】（1）设动点
坐标为
点
到直线
的距离为
．依题意可知
则
化简得
所以曲线
是椭圆，它的标准方程为
（2）①当直线与
轴垂直时，由椭圆的对称*可知
，又因为
,则
从而点
必在
轴上.
②当直线与
轴垂直时，则
，由①可设
，
由
得
，解得
（舍去），或
．
则点
的坐标只可能是
．
下面只需*直线斜率存在且
时均有
即可.
设直线的方程为
，代入
得
.
设
所以
设点
关于
轴对称的点坐标
因为直线
的斜率
同理得直线
的斜率
，三点
共线.
故
.
所以存在点
满足题意．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
