已知双曲线的方程为，离心率,顶点到渐近线的距离为(1)求双曲线的方程;(2)设是双曲线上点，,两点在双曲线的两...
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问题详情：
已知双曲线
的方程为
，离心率
,顶点到渐近线的距离为
(1)求双曲线
的方程;
(2)设
是双曲线
上
点，
,
两点在双曲线
的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若
，求
面积的取值范围.
【回答】
（1）
（2）
【解析】
（1）由顶点到渐近线距离、离心率和双曲线
的关系可构造方程求得
，进而得到双曲线方程；
（2）假设
三点坐标，利用
可表示出
点坐标，代入双曲线方程整理可得
；结合渐近线斜率和倾斜角的关系、同角三角函数和二倍角公式可求得
，利用三角形面积公式可将所求面积化为关于
的函数，利用对号函数的*质即可求得所求取值范围.
【详解】（1）由双曲线方程可知其渐近线方程为
，顶点坐标
顶点到渐近线距离
由
得：
双曲线
的方程为：
（2）由（1）知：双曲线渐近线方程为
设
，
，
，其中
，
则
，
由
得：
，整理可得：
设
，
又
，
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增
即
面积的取值范围为
【点睛】本题考查双曲线方程的求解、双曲线中三角形面积取值范围的求解问题；求解三角形面积取值范围的关键是能够利用某一变量将所求面积表示为关于该变量的函数的形式，进而利用函数求值域的方法求得所求范围.
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
