双曲线的虚轴长为,两条渐近线方程为.(1)求双曲线的方程;(2)双曲线上有两个点,直线和的斜率之积为,判别是否...
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问题详情:
双曲线的虚轴长为,两条渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程;
(2)双曲线上有两个点,直线和的斜率之积为,判别是否为定值,;
(3)经过点的直线且与双曲线有两个交点,直线的倾斜角是,是否存在直线(其中)使得恒成立?(其中分别是点到的距离)若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
【回答】
(1);(2)8;(3)存在且
【解析】
分析:(1)根据题意,双曲线的虚轴长为,两条渐近线方程为.易求求双曲线的方程;
(2)设直线的斜率,显然,
联立得,求出,,可*;
(3)设直线方程,
联立,(*),
∵,方程总有两个解,
设,得到,
根据得,整理得,由,则符合题目要求,存在直线.
详解:
(1)双曲线;
(2)设直线的斜率,显然,
联立得,
,
,
;
(3)设直线方程,
联立,(*),
∵,方程总有两个解,
设,
,
根据得,
整理得,
∵,
∴符合题目要求,存在直线.
点睛:本题考查双曲线的求法,直线与双曲线的位置关系,属难题.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题