已知双曲线的焦距为4,以原点为圆心,实半轴长为半径的圆和直线相切.(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)已知点为双曲线的...
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已知双曲线的焦距为4,以原点为圆心,实半轴长为半径的圆和直线相切.
(Ⅰ) 求双曲线的方程;
(Ⅱ)已知点为双曲线的左焦点,试问在轴上是否存在一定点,过点任意作一条直线交双曲线于两点,使为定值?若存在,求出此定值和所有的定点的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(Ⅰ)
所以双曲线的方程为; ……………4分
(Ⅱ)解法一:当直线为时,
……………………5分
当直线不是时,可设代入
整理得 ……………………7分
由得
设方程的两个根为满足
………9分
当且仅当时,为定值,
解得,不合题意,舍去,
而且满足;
综上得:过定点任意作一条直线交双曲线于两点,
使为定值. ………12分
解法二: 前同解法一,得 …………………9分
由 得,
解得,下同解法一. …………………………………………………12分
解法三: 当直线不垂直轴时,设代入
整理得 …………7分
由得
设方程的两个根为满足
……9分
当且仅当时,为定值,
解得,不合题意,舍去,而且满足; …10分
当直线轴时,代入得
………11分
综上得:(结论同解法一) ………………………………………12分
(注:第(II)题有一般*结论)
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题