已知点动点满足直线与的斜率之积为.记的轨迹为曲线.1.求的方程，并说明是什么曲线；2.过坐标原点的直线交于两点...
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问题详情：
已知点
动点
满足直线
与
的斜率之积为
.记
的轨迹为曲线
.
1.求
的方程，并说明
是什么曲线；
2.过坐标原点的直线交
于
两点，点
在第一象限，
轴，垂足为
，连结
并延长交
于点
.
（i）*：
是直角三角形；
（ii）求
面积的最大值.
【回答】
1.由题设得
，化简得
，所以
为中心在坐标原点，焦点在
轴上的椭圆，不含左右顶点．
2.（i）设直线
的斜率为
，则其方程为
．
由
得
．
记
，则
．
于是直线
的斜率为
，方程为
．
由
得
．①
设
，则
和
是方程①的解，故
，由此得
．
从而直线
的斜率为
．
所以
，即
是直角三角形．
（ii）由（i）得
，
，
所以△PQG的面积
．
设
，则由
得
，当且仅当
时取等号．
因为
在
单调递减，所以当
，即
时，
取得最大值，最大值为
．
因此，
面积的最大值为
．
知识点：圆与方程
题型：综合题
