已知长度为的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）设不经过...
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问题详情：
已知长度为
的线段
的两个端点
分别在
轴和
轴上运动，动点
满足
，记动点
的轨迹为曲线
．
（1）求曲线
的方程；
（2）设不经过点
的直线
与曲线
相交于两点
．若直线
与
的斜率之和为
，求实数
的值．
【回答】
【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），A（m，0），B（0，n），
∵
，
∴（x，y﹣n）＝3（m﹣x，﹣y）＝（3m﹣3x，﹣3y），
即
，
∴
，
∵|AB|＝4，
∴m2+n2＝16，
∴
，
∴曲线C的方程为：
；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），
由
，消去y得，
37x2+36tx+9（t2﹣1）＝0，
由△＝（36t）2﹣4×37×9（t2﹣1）＞0，
可得﹣
，
又直线y＝2x+t不经过点H（0，1），
且直线HM与HN的斜率存在，
∴t≠±1，
又
，
，
∴kHM+kHN＝
＝
＝4﹣
＝1，
解得t＝3，
故t的值为3．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
