如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（1，0），点D为y轴上一点，点A为第二象...

问题详情：

如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（1，0），点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过D作DM⊥AC于点M．

（1）求*：∠ABD=∠ACD．

（2）若点E在BA延长线上，求*：AD平分∠CAE．

（3）当A点运动时，的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由．

【回答】

【考点】三角形综合题．

【分析】（1）在△ABC中，∠ABD+∠CBD+∠ACB=180﹣∠BAC=180﹣2∠BDO①；连接CD，*出BD=CD，在△BCD中，∠ACD+∠ACB+∠CBD=180﹣2∠BDO②；由一样会②即可得出结论；

（2）过D作DN⊥BE于N，由AAS*△BDN≌△CDM，得出∵DM⊥AC，DM=DN，即可得出结论；

（3）由全等三角形的*质得出BN=CM；*出AN=AM；得出AC=AB=2AM，即可得出结论．

【解答】（1）*：在△ABC中，∠ABD+∠CBD+∠ACB=180﹣∠BAC，

∵∠BAC=2∠BDO，

∴∠ABD+∠CBD+∠ACB=180﹣∠BAC=180﹣2∠BDO①；

∵点B的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（1，0），

∴OB=OC，∵DO⊥BC，

∴BD=CD，

∴∠BDO=∠CDO，∠BDC=2∠BDO，

连接CD，在△BCD中，∠ACD+∠ACB+∠CBD=180﹣2∠BDO②；

①﹣②得：∠ABD﹣∠ACD=0，

∴∠ABD=∠ACD；

（2）*：过D作DN⊥BE于N，如图所示：

∵DM⊥AC，

∴∠DNB=∠DMC=90°，

在△BDN和△CDM中，，

∴△BDN≌△CDM（AAS），

∴DN=DM，

∴AD是∠CAE的角平分线，

即AD平分∠CAE；

（3）解：∵△BDN≌△CDM，

∴BN=CM；

由AD是∠CAE的角平分线，得AN=AM；

又BN=AN+AB=AM+AB；  CM=AC﹣AM；

∴AC=AB=2AM，

∴=2，

即的值是定值2．

知识点：与三角形有关的线段

题型：解答题