如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1),直线l:y=﹣1.动点P满足条件:①P在这个平面直角坐标系中;②...
问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1),直线l:y=﹣1.动点P满足条件: ①P在这个平面直角坐标系中; ②P到A的距离和P到l的距离相等;
(1)求点P所经过的轨迹方程,并在网格中绘制这个图象.(提示:平面直角坐标系中两点之间的距离可以通过勾股定理来求得)
(2)已知直线y=kx+1,小明同学说,这条直线与(1)中所绘的图象有两个交点?你能说明小明为什么这么说吗?
(3)经过了上述的计算、绘图,小明发现,如果第(2)问的两个交点分别为B、C,那么,过BC的中点M作直线l的垂线,垂足为H,连接BH、CH,所得到的三角形BCH是个特殊的三角形,你能说明它是什么三角形吗?为什么?
【回答】
(1)解:设P的坐标为P(x,y),由题意得: =|y+1|, 两边平方得:x2+(y﹣1)2=(y+1)2 , ∴y= x2 , 即P的轨迹为一抛物线,其图象如图1所示; (2)解:抛物线直线方程联立得 ,消去y可得x2﹣4kx﹣4=0, ∴△=16k2+16>0, ∴直线y=kx+1与抛物线有两个交点; (3)解:如图2,过B作BB′⊥l于B′,过C作CC′⊥l于C′, 由(1)中的条件可得BB′=BA,CC′=CA, ∴BC=BA+AC=BB′+CC′, 又由题意可得MH是梯形BB′C′C的中位线, ∴MH= (BB′+CC′)= BC, ∴MB=MC=MH, ∴△BHC是以∠BHC为直角的直角三角形. 【考点】二次函数的图象,二次函数的*质,二次函数的应用 【解析】【分析】(1)设出P点坐标,表示出P到A的距离和P到l的距离相等,可求得其轨迹方程,可画出图象;(2)联立直线与抛物线解析式利用一元二次方程的判别式可判断得出;(3)过B作BB′⊥l于B′,过C作CC′⊥l于C′,由条件可*MH为梯形BB′C′C的中位线,可*得△BCH为直角三角形.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题