如图，抛物线y=mx2﹣8mx+12m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，顶点...

问题详情：

如图，抛物线y=mx2﹣8mx+12m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E，联接AD，OD．

（1）求顶点D的坐标（用含m的式子表示）；

（2）若OD⊥AD，求该抛物线的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，设动点P在对称轴左侧该抛物线上，PA与对称轴交于点M，若△AME与△OAD相似，求点P的坐标．

【回答】

【解答】解：（1）∵y=m（x﹣4）2﹣4m，

∴顶点D的坐标为（4，﹣4m）；

（2）当y=0时，mx2﹣8mx+12m=0，解得x1=2，x2=6，

∴A（6，0），B（2，0），

∴OA=6，

∵抛物线的对称轴为x=4，

∴点E（4，0），

则OE=4，AE=2，DE=4m，

∵OD⊥AD，

∴∠ADO=90°，即∠ODE+∠ADE=90°，

而∠ODE+∠DOE=90°，

∴∠DOE=∠ADE，

∴△DEO∽△AED，

∴DE：AE=OE：DE，即4m：2=4：4m，解得m1=，m2=﹣（舍去），

∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+6；

（3）由（2）得D（4，﹣2），

∵△ADO与△AED相似，△AME与△OAD相似

∴△AME与△EAD相似，

∵∠ADO=∠AEM=90°，[来源:Z&xx&]

∴当=时，△AEM∽△DEA，即=，解得EM=，

∴M（4，）

易得直线AM的解析式为y=﹣x+3，

解方程组得或，

∴此时P点坐标为（1，），

当=，则EM=DE=2，

∴M（4，2），

易得直线AM的解析式为y=﹣x+6，

解方程组得或，

∴此时P点坐标为（0，6），

综上所述，点P的坐标（0，6）或（1，）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题