如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为...
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如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(﹣3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在(2)的前提下,若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为l.求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标.
【回答】
解:(1)∵抛物线y=+bx+c的顶点在直线x=上,
∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y=+m,
∵点B(0,4)在此抛物线上,
∴4=×+m,
∴m=﹣,
∴所求函数关系式为:y=﹣=﹣x+4;
(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,
∴AB==5,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD=DA=AB=5,
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0);
当x=5时,y=×52﹣×5+4=4,
当x=2时,y=×22﹣×2+4=0,
∴点C和点D在所求抛物线上;
(3) 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b′,
则;
解得:;
∴y=x﹣
∵MN∥y轴,M点的横坐标为t,
∴N点的横坐标也为t;
则yM=﹣t+4,yN=t﹣,
∴l=yN﹣yM=t﹣﹣(﹣t+4)=﹣+t﹣=﹣+
∵﹣<0,
∴当t=时,l最大=,yM=﹣t+4=.
此时点M的坐标为(,).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题