如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D，动点P在抛物线对称轴上，动点Q在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当PO+PC的值最小时，求点P的坐标；

（3）是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，

∴A（4，0），C（0，3），

∵抛物线经过O、A两点，

∴抛物线的顶点的横坐标为2，

∵顶点在BC边上，

∴抛物线顶点坐标为（2，3），

设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，

把（0，0）坐标代入可得0=a（0﹣2）2+3，解得a=，

∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3，

即y=x2+3x；

（2）连接PA，如图，

∵点P在抛物线对称轴上，

∴PA=PO，

∴PO+PC=PA+PC．

当点P与点D重合时，PA+PC=AC；

当点P不与点D重合时，PA+PC＞AC；

∴当点P与点D重合时，PO+PC的值最小，

设直线AC的解析式为y=kx+b，

根据题意，得，解得

∴直线AC的解析式为y=﹣x+3，

当x=2时，y=﹣x+3=，则D（2，），

∴当PO+PC的值最小时，点P的坐标为（2，）；

（3）存在．

当以AC为对角线时，当四边形AQCP为平行四边形，点Q为抛物线的顶点，即Q（2，3），则P（2，0）；

当AC为边时，当四边形AQPC为平行四边形，点C向右平移2个单位得到P，则点A向右平移2个单位得到点Q，则Q点的横坐标为6，当x=6时，y=x2+3x=﹣9，此时Q（6，﹣9），则点A（4，0）向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点Q，所以点C（0，3）向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点P，则P（2，﹣6）；

当四边形APQC为平行四边形，点A向左平移2个单位得到P，则点C向左平移2个单位得到点Q，则Q点的横坐标为﹣2，当x=﹣2时，y=x2+3x=﹣9，此时Q（﹣2，﹣9），则点C（0，3）向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点Q，所以点A（4，0）向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点P，则P（2，﹣12）；

综上所述，P（2，0），Q（2，3）或P（2，﹣6），Q（6，﹣9）或P（2，﹣12），Q（﹣2，﹣9）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题