如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=4，OC=3，且顶点A、C均在坐标轴上，动点M从点A出发，以每...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=4，OC=3，且顶点A、C均在坐标轴上，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动；点N从点C出发沿CB向终点B以同样的速度移动，当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，过点N作NP⊥BC交BO于点P，连接MP．

（1）直接写出点B的坐标，并求出点P的坐标（用含x的式子表示）；

（2）设△OMP的面积为S，求S与x之间的函数表达式；若存在最大值，求出S的最大值；

（3）在两个动点运动的过程中，是否存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）∵矩形OABC中，OA=4，OC=3，

∴B点坐标为（4，3）．

如图，延长NP，交OA于点G，则PG∥AB，OG=CN=x．

∵PG∥AB，

∴△OPG∽△OBA，

∴=，即=，

解得：PG=x，

∴点P的坐标为（x， x）；

（2）∵在△OMP中，OM=4﹣x，OM边上的高为x，

∴S=（4﹣x）•x=﹣x2+x，

∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+x（0＜x＜4）．

*，得S=﹣（x﹣2）2+，

∴当x=2时，S有最大值，最大值为；

（3）存在某一时刻，使△OMP是等腰三角形．理由如下：

①如备用图1，过点P作PG⊥AO于点G，

若PO=PM，则OG=GM=CN=x，

即3x=4，

解得：x=；

②如备用图2，过点P作PG⊥AO于点G，

若OP=OM，CN=x，则OP=4﹣x，

由勾股定理，得OB===5，

∵NP∥OC，

∴=，

即=，

∴OP=x，

即x=4﹣x，

解得：x=，

③如备用图3，过点P作PQ⊥OA，垂足为Q，

若OM=PM时，则PM=OM=4﹣x，OQ=CN=x，

则MQ=2x﹣4，

在Rt△MPQ中，

PQ2+QM2=MP2，

即（x）2+（2x﹣4）2=（4﹣x）2，

解得：x=，

综上所述，当x的值为秒或秒或秒时，△OMP是等腰三角形．

 [来源:学|科|网]

知识点：相似三角形

题型：解答题