《九章算术》中将底面的长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为蟞臑...

问题详情：

《九章算术》中将底面的长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为蟞臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=BC，则当点E在下列四个位置：PA中点、PB中点、PC中点、PD中点时分别形成的四面体E﹣BCD中，蟞臑有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【回答】

B【考点】直线与平面垂直的*质．

【分析】分情况讨论：（1）当点E在PC中点时，*BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即可得出结论；

（2）当点E在PA中点时：以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD=DC=BC=1，则可求BC，BE，EC三边长不满足勾股定理，可得△EBC不是直角三角形，故故四面体E﹣BCD不是蟞臑．

（3）当点E在PB中点时：易*△BCE不是直角三角形（同上），可得四面体E﹣BCD不是蟞臑．

（4）当点E在PD中点时：由BC⊥平面ECD，DE⊥平面DBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑．

【解答】*：（1）当点E在PC中点时：

因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，

因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD，

因为PD∩CD=D，

所以BC⊥平面PCD，

因为DE⊂平面PCD，

所以BC⊥DE，

因为PD=CD，点E是PC的中点，

所以DE⊥PC，

因为PC∩BC=C，

所以DE⊥平面PBC，

由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，

即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；

（2）当点E在PA中点时：如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

设PD=DC=BC=1，则：C（0，1，0），B（1，1，0），D（0，0，0），E（，0，），

可求：BC=1，BE=，EC=，三边长不满足勾股定理，可得△EBC不是直角三角形，

故故四面体E﹣BCD不是蟞臑．

（3）如下图当点E在PB中点时：易*△BCE不是直角三角形（同上），故四面体E﹣BCD不是蟞臑．

（4）如下图当点E在PD中点时：

由BC⊥平面ECD，DE⊥平面DBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，

即四面体EBCD是一个鳖臑．

故选：B．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：选择题