已知二次函数y=x2﹣（m+3）x+2m﹣1．（1）*：无论m取何值时，其图象与x轴总有两个交点；（2）当其...

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已知二次函数y=x2﹣（m+3）x+2m﹣1．

（1）*：无论m取何值时，其图象与x轴总有两个交点；

（2）当其图象与y轴交于点A（0，5）时，求m的值；

（3）设由（2）确定的二次函数的图象与x轴自左向右依次交于点B、C，顶点为D，直线y=kx．

①问是否存在k的值，使得直线y=kx既平分△AOD的面积，又平分它的周长？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；

②设直线y=kx与AD相交于点P，问是否存在以O、P、A（或D）为顶点的三角形与△OAD相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

【分析】（1）计算出△，可以*△大于0，即可说明图象与x轴总有两个交点；

（2）将点A（0，5）代入，即可求出m的值；

（3）①可以*△AOD是以O为顶点的等腰三角形，所以当直线y=kx经过线段AD的中点时即可；

②由①知△AOD是以O为顶点的等腰三角形，只要使OP=AP即可，进而求出P的值．

【解答】解：（1）△=（m+3）2﹣4（2m﹣1）

=m2﹣2m+13

=（m﹣1）2+12＞0，

∴无论m取何值时，其图象与x轴总有两个交点；

（2）将点A（0，5）代入可得：2m﹣1=5，

解得：m=3；

（3）由（2）知m=3，

∴此抛物线的解析式为：y=x2﹣6x+5，

当y=0时，0=x2﹣6x+5，解得：x=1或x=5，

∴B（1，0），C（5，0），顶点D（3，﹣4），

设直线AD的解析式为y=ax+b，将点A（0，5）和点D（3，﹣4）代入可得：

，

解得：，

∴直线AD的解析式为：y=﹣3x+5；

①存在，k=．

如图，过点D作DV⊥y轴，则：DV=3，OV=3，

∴OD==5，∴OD=OE，

过点O作OE⊥AD，则E为AD的中点，

过点E作EW⊥y轴，垂足为W，

∴WE∥DV，

∴△AWE∽△AVD，

∴=，即： =，

∴WE=，AW=，

∴OW=5﹣=，

∴点E（，），

把点E代入y=kx，得：

，

∴k=；

②存在点P（，），

设直线AD的解析式为y=kx+b，

将点A（0，5）和点D（3，﹣4）代入可得：

，

解得：，

∴直线AD的解析式为：y=﹣3x+5

∵△OAD是等腰三角形，∴当OP=AP时即可，

过点P作PM⊥y轴，垂足为M，则M为OA的中点，

∴OM=，

当y=时，，

解得：x=，

∴点P（，）．

【点评】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，以及求一次函数的解析式以及二次函数的解析式的问题，还有二次函数与三角形相似结合的问题，综合*很强，注意总结．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题