如图，已知抛物线：的顶点为，与轴相交于两点（点在点的左边），点的横坐标是．（1）求点坐标及的值；（2）如图1，...
问题详情：
如图，已知抛物线
：
的顶点为
，与
轴相交于
两点（点
在点
的左边），点
的横坐标是
．
（1）求
点坐标及
的值；
（2）如图1，抛物线
与抛物线关于
轴对称，将抛物线向左平移，平移后的抛物线记为
，
的顶点为
，当点
关于点成中心对称时，求
的解析式
；
（3）如图2，点
是
轴负半轴上一动点，将抛物线绕点旋转
后得到抛物线
．抛物线
的顶点为
，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点
的坐标．
【回答】
解：（1）由抛物线C1：
得顶点P的坐标为（2，5）………….1分
∵点A（－1，0）在抛物线C1上∴
.………………2分
（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G..
∵点P、M关于点A成中心对称,
∴PM过点A，且PA＝MA..
∴△PAH≌△MAG..
∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.
∴顶点M的坐标为（
，5）.………………………3分
∵抛物线C2与C1关于x轴对称，抛物线C3由C2平移得到
∴抛物线C3的表达式
. …………4分
（3）∵抛物线C4由C1绕x轴上的点Q旋转180°得到
∴顶点N、P关于点Q成中心对称.
由（2）得点N的纵坐标为5.
设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PR⊥NG于R.
∵旋转中心Q在x轴上,
∴EF＝AB＝2AH＝6.
∴EG＝3，点E坐标为（
，0），H坐标为（2，0），
R坐标为（m，－5）.
根据勾股定理，得
①当∠PNE＝90º时，PN2+ NE2＝PE2，
解得m＝
，∴N点坐标为（
，5）
②当∠PEN＝90º时，PE2+ NE2＝PN2，
解得m＝
，∴N点坐标为（
，5）.
③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º ………7分
综上所得，当N点坐标为（，5）或（，5）时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形．…………………………………………………………………………………8分
知识点：各地中考
题型：综合题
