在平面直角坐标系中，点，点.已知抛物线（是常数），顶点为.（Ⅰ）当抛物线经过点时，求顶点的坐标；（Ⅱ）若点在轴...
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问题详情：
在平面直角坐标系中，点
，点
.已知抛物线
（
是常数），顶点为
.
（Ⅰ）当抛物线经过点
时，求顶点
的坐标；
（Ⅱ）若点
在
轴下方，当
时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ） 无论
取何值，该抛物线都经过定点
.当
时，求抛物线的解析式.
【回答】
（Ⅰ）
；（Ⅱ）
；（Ⅲ）
或
.
【分析】
（Ⅰ）把点A（1，0）代入
求出m的值，从而确定二次函数解析式，进而求出顶点P的坐标；
（Ⅱ）先由函数解析式得出顶点坐标为
.再结合已知条件可知
，从而求出
，
.再进行分类讨论得到抛物线解析式为
；
（Ⅲ）由
可知，定点H的坐标为
，过点
作
，交*线
于点
，分别过点
，
作
轴的垂线，垂足分别为
，
，则可*
.得点
的坐标为
或
.然后进行分类讨论即可求解.
【详解】
（Ⅰ）∵抛物线
经过点
，
∴
，解得
.
∴抛物线的解析式为
.
∵
，
∴顶点
的坐标为
.
（Ⅱ）抛物线
的顶点
的坐标为
.
由点
在
轴正半轴上，点
在
轴下方，
，知点
在第四象限.
过点
作
轴于点
，则
.
可知
，即
，解得
，
.
当
时，点
不在第四象限，舍去.
∴
.
∴抛物线解析式为
.
（Ⅲ）由
可知，
当
时，无论
取何值，
都等于4.
得点
的坐标为
.
过点
作
，交*线
于点
，分别过点
，
作
轴的垂线，垂足分别为
，
，则
.
∵
，
，
∴
.∴
.
∵
，
∴
.
∴
.
∴
，
.
可得点
的坐标为
或
.
当点
的坐标为
时，可得直线
的解析式为
.
∵点
在直线
上，
∴
.解得
，
.
当
时，点
与点
重合，不符合题意，∴
.
当点
的坐标为
时，
可得直线
的解析式为
.
∵点
在直线
上，
∴
.解得
（舍），
.
∴
.
综上，
或
.
故抛物线解析式为
或
.
【点睛】
这是一道关于二次函数的综合题. 解题的关键是学会用待定系数法求二次函数关系式以及用分类讨论的思想思考问题.
知识点：二次函数的图象和*质
题型：解答题
