已知函数．(1)求函数的单调区间及极值；(2)设时，存在，使方程成立，求实数的最小值．
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问题详情：
已知函数
．
(1)求函数
的单调区间及极值；
(2)设
时，存在
，使方程
成立，求实数
的最小值．
【回答】
解；通过假设
，求出
的最小值，即为
的最小值.
【详解】（1）由
得：
令
，则
，解得
当
时，
当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
当
时，函数
有极大值
，
没有极小值
（2）当
时，由（1）知，函数
在
处有最大值
又因为
方程
有解，必然存在
，使
，
等价于方程
有解，即
在
上有解
记，
，令
，得
当
时，
，单调递减
当
时，
，单调递增
所以当
时，
所以实数
的最小值为
【点睛】本题考查利用导数求解函数单调区间和极值、能成立问题的求解.解题关键是能够将原题的能成立问题转化为方程有解的问题，从而进一步转化为函数最值问题的求解，对于学生转化与化归思想的应用要求较高.
知识点：导数及其应用
题型：解答题
