已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求的最小值.
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已知函数
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）若
恒成立，求
的最小值.
【回答】
【解析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=（2x2+x）lnx﹣3x2﹣2x+b（x＞0）．
f′（x）=（4x+1）（lnx﹣1），令f′（x）=0，得x=e．
x∈（0，e）时，f′（x）＜0，∈（e，+∞）时，f′（x）＞0．
函数f（x）的单调增区间为（e，+∞），减区间为（0，e）； 6分
（Ⅱ）由题意得f′（x）=（4x+1）（lnx﹣a），（x＞0）．
令f′（x）=0，得x=ea．x∈（0，e a）时，f′（x）＜0，∈（ea ，+∞）时，f′（x）＞0．
函数f（x）的单调增区间为（ea，+∞），减区间为（0，ea）
∴f（x）min=f（ea）=﹣e2a﹣ea+b，
∵f（x）≥0恒成立，∴f（ea）=﹣e2a﹣ea+b≥0，则b≥e2a+ea．∴b﹣a≥e2a+ea﹣a
令ea=t，（t＞0），∴e2a+ea﹣a=t2+t﹣lnt，设g（t）=t2+t﹣lnt，（t＞0），g′（t）=
．
当t∈（0，
）时，g′（t）＜0，当
时，g′（t）＞0．
∴g（t）在（0，
）上递减，在（
，+∞）递增．
∴g（t）min=g（
）=
．f（x）≥0恒成立，b﹣a的最小值为
． 12分
知识点：导数及其应用
题型：解答题
