已知函数，．（Ⅰ）若在上存在极大值点，求实数的取值范围；（Ⅱ）求*：，其中．
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问题详情：
已知函数
，
．
（Ⅰ）若
在
上存在极大值点，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）求*：
，其中
．
【回答】
（Ⅰ） 
（Ⅱ）见*
【分析】
（Ⅰ）先对函数
求导，再由分类讨论的思想，分别讨论
，
和
三种情况，即可得出结果；
（Ⅱ）令
可得
，由（Ⅰ）可知
的极大值，再由
时，
，即可*结论成立；也可用数学归纳法*.
【详解】
解：（Ⅰ）由于
，
则①当
时，
，
即当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
故
在
处取得极大值，
则
，解得：
；
②当
时，
恒成立，
无极值，不合题意舍去；
③当
时，
，
即当
时，
，
单调递减；
当
时， 
，
单调递增；
故
在
处取得极小值，不合题意舍去；
因此当
时，
在
上存在极大值点；
（Ⅱ）法一：令
，
，
由（Ⅰ）得：
在
处取得极大值1，且该极值是唯一的，
则
，即
，当且仅当
时取“=”，
故当
时，
，
因此
．
法二：下面用数学归纳法*：
，对
恒成立．
（1）当
时，左边
，右边
，
左边
右边，结论成立；
（2）假设当
时，结论成立，即
，
当
时，左边
，
而
，
令
，
，
由（Ⅰ）得：
在
处取得极大值1，且该极值是唯一的，
则
，即
，当且仅当
时取“=”，
则
对
恒成立，即
成立
故当
时，结论成立，
因此，综合（1）（2）得
，对
恒成立
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，由导数的方法研究函数的单调*和极值等，属于常考题型.
知识点：导数及其应用
题型：解答题
