已知数列满足，且．Ⅰ使用数学归纳法*：；Ⅱ*：；Ⅲ设数列的前n项和为，*：．
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问题详情：
已知数列
满足
，且
．
Ⅰ
使用数学归纳法*：
；
Ⅱ
*：
；
Ⅲ
设数列
的前n项和为
，*：
．
【回答】
（I）详见解析；（II）详见解析；（III）详见解析.
【解析】
Ⅰ
利用数学归纳法，分别讨论当
时和当
时的情况；
Ⅱ
，由
Ⅰ
知
，故
；
Ⅲ
因为
，所以
，由
可得
，进而可表示出
，利用裂项相消法即可求出
，从而*得
．
【详解】
解：
Ⅰ
当
时，
，故当
时命题成立；
假设
时命题成立，即
，
当
时，注意
在
单调递增，
所以
，
故
，故当
时命题成立．
因此对任意的
，有
；
Ⅱ
由
，
由
Ⅰ
知
，
故
．
Ⅲ
因为
，所以
因为
，
所以
，
故有
，
．
综上所述，
．
【点睛】
本题考查了数学归纳法的运用，考查了数列求和的方法，属于中档题．
知识点：数列
题型：解答题
