已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M(2，t)(t>0)在直线x＝(a为长半轴，c为半焦...
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问题详情：
已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M(2，t)(t>0)在直线x＝
(a为长半轴，c为半焦距)上．
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；
(3) 设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求*：线段ON的长为定值，并求出这个定值．
【回答】
(1) 解：由点M在准线上，得
＝2，∴ c＝1，从而a＝
，所以椭圆方程为
＋y2＝1.
(2) 解：以OM为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0，即
，其圆心为
，半径r＝
，因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离
，解得t＝4，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
(3) *：设N(x0，y0)，则
＝(x0－1，y0)，
＝(2，t)，
＝(x0－2，y0－t)，
＝(x0，y0)．
∵ 
⊥
，∴ 2(x0－1)＋ty0＝0，∴ 2x0＋ty0＝2.
∵ 
⊥
，∴ x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0，∴ x
＋y
＝2x0＋ty0＝2，
∴ ||＝
＝为定值．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
