已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程.(2)已知点B(-...

问题详情：

已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程.

(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,*直线l过定点.

【回答】

【解题提示】(1)由弦长的一半、半径和弦心距构成直角三角形列出方程,化简后得出轨迹C的方程.

(2)直线过定点可抓住该题的关键:x轴是∠PBQ的角平分线,即kQB+kPB=0解之.

【解析】(1)A(4,0),设圆心C(x,y),线段MN的中点为E,由几何图象知ME=,CA2=CM2=ME2+EC2⇒(x-4)2+y2=42+x2⇒y2=8x.

(2)设直线l的方程为y=kx+b,联立

得k2x2+2kbx+b2=8x,

k2x2-(8-2kb)x+b2=0(其中Δ>0),

设P(x1,kx1+b),Q(x2,kx2+b),

则x1+x2=,

x1x2=,

若x轴是∠PBQ的角平分线,则

kPB+kQB=+

=

===0即k=-b,

故直线l的方程为y=k(x-1),直线l过定点(1,0).

知识点：圆与方程

题型：解答题