如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（－3，0）、B(1,0)、C(－2，1)，交y轴于点M.(...
问题详情：
如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（－3，0）、B(1,0)、C(－2，1)，交y轴于点M.
(1)求抛物线的表达式；
(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【回答】
解：由题意可知
．解得
．
∴抛物线的表达式为y=－
x2－
x＋1．
（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．
设直线MA的表达式为y=kx+b，则
解得
．
∴直线MA的表达式为y=
x+1．
设点D的坐标为（x0, －
x
－ x0＋1），则点F的坐标为（x0, x0＋1）．
DF=－x
－
x0＋1－（x0＋1）
=－x
－x0=－ （x0＋
）2＋
当x0=－
时，DF的最大值为
此时－x－ x0＋1=
，即点D的坐标为（－，
）．………………………………6分
（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，－m2－
m＋1）．
在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．
① 设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，
∴－m2－m＋1=3(m+3)，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．
② 当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，
∴-(－m2－m＋1)=3(-m-3)，即m2+11m+24=0．
解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）．
③ 当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3(－m2－m＋1)= m+3，即m2+m﹣6=0．
解得m=﹣3（舍去）或m=2．
当m=2时，－m2－m＋1=－
．此时点P的坐标为（2，－
）．
若PN=3NA，则-(－m2－m＋1)=3(m＋3)，即m2﹣7m﹣30=0．
解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为
（﹣8，﹣15）、（2，－）、（10，﹣39）．……………………………………9分
知识点：各地中考
题型：解答题
