如图,已知AB=AC,直线m经过点A,点D,E是直线m上的两个动点,连接BD,CE.(1)如图①,若∠BAC=...
问题详情:
如图,已知AB=AC,直线m经过点A,点D,E是直线m上的两个动点,连接BD,CE.
(1)如图①,若∠BAC=90°,BD⊥DE,CE⊥DE,求*:DE=BD+CE;
(2)如图②,若∠BAC=∠BDA=∠AEC,则(1)中的结论DE=BD+CE还成立吗?请说明理由;
(3)如图③,在(2)的条件下,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,试判定△DEF的形状,并说明理由.
【回答】
(1)*见解析;(2)成立,*见解析;(3)△DFE是等边三角形,*见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据条件可以得出∠DAB=∠ACE,就可以得出△ADB≌△CEA就可以得出BD=AE,AD=CE即可得出结论; (2)根据三角形的内角和定理就可以得出∠DAB=∠ACE,就可以得出△ADB≌△CEA,就可以得出结论; (3)由等边三角形的*质就可以得出∠BAC=120°,就可以得出△FDB≌△FEA,就可以得出DF=EF,∠DFB=∠EFA而得出结论.
【详解】
解:(1)∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠CAE=90° ∵BD⊥AD, ∴∠BDA=90°, ∴∠BAD+∠ABD=90°, ∴∠DBA=∠CAE; ∵CE⊥DE, ∴∠CEA=90°, ∴∠ADB=∠CEA. 在△ADB和△CEA中,
, ∴△ADB≌△CEA(AAS) ∴AD=CE,BD=AE. ∵DE=DA+AE, ∴DE=BD+CE;
(2)(1)中的结论DE=BD+CE仍然成立. 理由:∵∠DAB+BAC+∠CAE=180°,∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°, ∴∠DAB+∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠ACE+∠AEC. ∵∠BAC=∠AEC, ∴∠DAB=∠ACE. 在△ADB和△CEA中
, ∴△ADB≌△CEA(AAS) ∴AD=CE,BD=AE. ∵DE=DA+AE, ∴DE=BD+CE;
(3)△DFE是等边三角形. 理由:∵△ADB≌△CEA, ∴∠DBA=∠EAC,BD=EA. ∵△ABF和△ACF均为等边三角形, ∴BF=AB=AF=AC=CF,∠ABF=∠CAF=60°, ∴∠ABF+∠DBA=∠CAF+∠EAC, ∴∠DBF=∠EAF. 在△FDB和△FEA中,
, ∴△FDB≌△FEA(SAS), ∴DF=EF,∠DFB=∠EFA. ∵∠DFB+∠DFA=60°, ∴∠EFA+∠DFA=60°, 即∠DFE=60° ∴△DFE是等边三角形.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与*质的运用,等边三角形的判定与*质的运用,等式的*质的运用,解答时*三角形全等是关键.
知识点:等腰三角形
题型:解答题