已知：AD是△ABC的高，且BD＝CD．（1）如图1，求*：∠BAD＝∠CAD；（2）如图2，点E在AD上，连...

问题详情：

已知：AD是△ABC的高，且BD＝CD．

（1）如图1，求*：∠BAD＝∠CAD；

（2）如图2，点E在AD上，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，A′B与AC相交于点F，若BE＝BC，求∠BFC的大小；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF，过点C作CG⊥EF，交EF的延长线于点G，若BF＝10，EG＝6，求线段CF的长．

【回答】

【解答】（1）*：如图1中，

∵BD＝CD，AD⊥BC，

∴AB＝AC，

∴∠BAD＝∠CAD．

（2）解：如图2中，连接EC．

∵BD⊥BC，BD＝CD，

∴EB＝EC，

又∵EB＝BC，

∴BE＝EC＝BC，

∴△BCE是等边三角形，

∴∠BEC＝60°，

∴∠BED＝30°，

由翻折的*质可知：∠ABE＝∠A′BE＝∠ABF，

∴∠ABF＝2∠ABE，由（1）可知∠FAB＝2∠BAE，

∴∠BFC＝∠FAB+∠FBA＝2（∠BAE+∠ABE）＝2∠BED＝60°．

（3）解：如图3中，连接EC，作EH⊥AB于H，EN⊥AC于N，EM⊥BA′于M．

∵∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠A′BE，

∴EH＝EN＝EM，

∴∠AFE＝∠EFB，

∵∠BFC＝60°，

∴∠AFE＝∠BFE＝60°，

在Rt△EFM中，∵∠FEM＝90°﹣60°＝30°，

∴EF＝2FM，设FM＝m，则EF＝2m，

∴FG＝EG﹣EF＝6﹣2m，

易知：FN＝EF＝m，CF＝2FG＝12﹣4m，

∵∠EMB＝∠ENC＝90°，EB＝EC，EM＝EN，

∴Rt△EMB≌Rt△ENC（HL），

∴BM＝CN，

∴BF﹣FM＝CF+FN，

∴10﹣m＝12﹣4m+m，

∴m＝1，

∴CF＝12﹣4＝8．

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的判定和*质，线段的垂直平分线的*质，全等三角形的判定和*质，勾股定理，角平分线的判定和*质，等边三角形的判定和*质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

知识点：等腰三角形

题型：综合题